Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

2 f(x) f(x − 8) + 5 f(x + 12) + 2 = 0.

6. Найдите все значения параметра а, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием

будет наименьшим.

1. Найдите положительный тангенс угла между касательными к гиперболе xy = 1 в точках с абсциссами х1 = 1, х2 = 2.

2. Найдите (в радианах) все решения уравнения

tg³ x² + tg² x² + ctg² x² + ctg³ x² − 4 = 0.

3. Найдите наименьшее значение выражения

x² + y² + 2/|x|·|y|.

4. Вычислите, если x < 0:

5. Вектор , коллинеарный вектору {12; −16; −15}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что  = 100, найдите его первую координату.

6. Решите уравнение

log1 + 2x (6x² + 5x + 1) − log1 + 3x (4x² + 4x + 1) = 2.

7. Найдите наибольшее целое решение неравенства

9 · 16−1/x + 5 · 36−1/x < 4 · 81−1/x.

8. Производительность труда рабочего повышалась дважды на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 р., а теперь — на 28 000 р.?

9. Найдите квадрат биссектрисы внутреннего угла С треугольника АВС, если АВ = 2, ВС = 4, АС = 2.

10. Ребро куба равно 36. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба.

Эту задачу нужно решать с особым вниманием.

Ответы к упражнениям 1—22 см. на с. 326—328.

Для краткости равенства можно располагать в строку или писать (x, y, z, ...) = (а, b, с, ...).

Имеется в виду применение абсолютного тождества, см. с. 42. Для неабсолютных тождеств это утверждение неверно.

Под применением тождества мы понимаем замену его левой части на правую.

Два совпадающих решения считаются за одно.

Ответы к упражнениям 1—9 см. на с. 360.

Если какая-то точка уже была отмечена светлым кружком, то изменять обозначение не следует.

Так в источнике (прим. от верстальщика fb2).

Требуется найти не только положительные значения x.

 Требуется найти не только положительные значения x.

1 карат = 0,2 г.

Плотности всех растворов предполагаются одинаковыми; при сливании двух растворов объем нового раствора равен сумме объемов исходных растворов.

Первое соотношение — неабсолютное тождество, остальные — абсолютные тождества.

Так в тексте. От верстальщика fb2.

[x] — целая часть числа x.

Такое преобразование системы, вообще говоря, может привести к приобретению постороннего решения, в котором y = 0.

Хотя метод интервалов был изложен во введении применительно к многочленам, им можно пользоваться при решении более широкого класса неравенств. В частности, для этого неравенства получаем

(3√x − 2)(x + 1)(x − 3/2) >0.

Первый множитель обращается в нуль при  причем он больше нуля при  и меньше нуля при  Нанесем точки −1,  и 3/2 на числовую ось и воспользуемся тем обстоятельством, что при x > 3/2 все три скобки положительны. Так как, кроме того, x ≥ 0, окончательно получим

Заметим, что если бы мы перешли к основанию 2, то получили бы уравнение, равносильное данному. Убедитесь в этом самостоятельно.

Формулы для  и т. п. доказываются аналогично с помощью тождеств: (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1, (x + 1)4 = x4 + 4x³ + 6x² + 4x + 1.

Во всех случаях удобно граничную точку относить к обоим интервалам, чтобы не столкнуться с ситуацией, когда наименьшее значение не достигается.