Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Поля не обязательно бесконечны. Простейшее из всех полей содержит всего два элемента, 0 и 1. Таблица сложения имеет вид 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Таблица вычитания такова: 0 − 0 = 0, 0 − 1 = 1, 1 − 0 = 1, 1 − 1 = 0. (Можно заметить, что получающиеся результаты таковы же, как для сложения. В данном поле любой знак минус можно спокойно заменить знаком плюс!) Таблица умножения: 0×0 = 0, 0×1 = 0, 1×0 = 0, 1×1 = 1. Таблица деления: 0:1 = 0, 1:1 = 1, а деление на нуль запрещено. (Делить на нуль нельзя никогда.) Это абсолютно нормальное, а вовсе не тривиальное поле, и мы очень скоро не преминем им как следует воспользоваться. Математики называют его полем F2.

На самом деле конечное поле можно построить для любого простого числа р и даже для любой степени любого простого числа. Если p — простое число, то имеется конечное поле из p элементов, поле из p2 элементов, поле из p3 элементов и т.д. Более того, мы только что перечислили все возможные конечные поля. Их можно организовать в список: F2, F4, F8, …, F3, F9, F27, …, F5, F25, F125, …; выписав их все, мы тем самым перечислим все возможности построения конечных полей.

Ошибкой было бы считать (как это порой делают начинающие), что конечные поля представляют собой просто переформулировку арифметики циферблата, описанной в главе 6.viii. Это верно только для полей, содержащих простое число элементов. А вот арифметика других конечных полей устроена более тонко. На рисунке 17.1, например, представлена арифметика циферблата — сложение и умножение — для циферблата с четырьмя отметками (т.е. 0, 1, 2 и 3). Эта система чисел и правил интересна и полезна, но она не является полем, поскольку нельзя разделить 1 ни на 3, ни на 2. (Если бы можно было разделить 1 на 2, то уравнение 1 = 2×x имело бы решение. А у него решения нет.) Математики называют это кольцом, что не лишено основания, коль скоро речь идет о циферблате. В кольце можно складывать, вычитать и умножать, но не всегда можно делить.

Рисунок 17.1. Сложение и умножение на циферблате с четырьмя отметками (другими словами, сложение и умножение выполняются по обычным правилам, после чего берутся остатки по модулю 4).

Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK4.[158]{4} Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N. В моих обозначениях оно будет называться CLOCKN.

Но поле FN можно построить не для любого числа N, а только для простых чисел и их степеней. Для простого числа p самого по себе поле Fp выглядит в точности как CLOCKp — та же таблица сложения, та же таблица умножения. Однако для степени простого числа ситуация усложняется. На рисунке 17.2 показаны сложение и умножение (откуда, конечно, извлекаются вычитание и деление) в поле F4. Видно, что F4 отличается от CLOCK4.

Рисунок 17.2. Сложение и умножение в конечном поле F4.

Всякое поле, конечное или бесконечное, имеет важный параметр — число, называемое характеристикой. Характеристика поля говорит о том, сколько раз надо прибавить единицу к самой себе, чтобы получить нуль. Если 1 + 1 + 1 + … = 0 (где берется N слагаемых), то характеристика равна N. Понятно, что характеристика поля F2 равна 2. Чуть менее очевидно, хотя и без труда проверяется с помощью таблицы сложения на рисунке 17.2, то, что характеристика поля F4 тоже равна 2. Такие поля, как Q, R, С, в которых никакое прибавление единицы к самой себе какое угодно количество раз никогда не даст в результате нуль, по определению имеют характеристику «нуль». (Вы могли бы подумать, что более логичной будет характеристика «бесконечность», и вы, возможно, правы, но имеются веские причины и для того, чтобы объявить характеристику нулевой.) Можно проверить, что характеристика любого поля есть или нуль, или некоторое простое число.

Поскольку мы имеем дело с алгеброй, элементы полей не обязаны быть числами. Алгебра позволяет работать с математическими объектами любого типа. Рассмотрим все многочлены (полиномиальные функции) любой заданной степени, т.е. все выражения вида axn + bxn−1 + cxn−2 + …, где a, b, c и т.д. — целые числа. Теперь образуем множество всех рациональных функций, другими словами, функций, являющихся отношением (ratio) двух многочленов. Получим поле. Приведем пример сложения в этом поле:

(Примерно этим и занимаются на уроках алгебры в старших классах.)

Коэффициенты многочленов не обязаны быть целыми. На самом деле можно позабавиться, сделав их элементами из конечного поля, такого как рассмотренное выше поле F2. В качестве примера сложения, которое при этом получается, имеем

(При проверке этого равенства надо помнить, что в поле F2 выполнено 1 + 1 = 0, а потому x + x = 0, x2 − x2 = 0 и т.д.) Это поле будет называться полем рациональных функций над F2. В нем, разумеется, бесконечно много элементов; лишь коэффициенты ограничены своей принадлежностью к конечному полю. Таким образом, можно использовать конечное поле для построения бесконечного. Заметим еще, что, поскольку 1 + 1 = 0, это поле имеет характеристику 2. Следовательно, и бесконечные поля могут иметь конечную характеристику.