возможны шесть перестановок:
123 123 123 123 123 123
123 132 321 213 231 312.
Их мы можем понимать как подстановки, причем под каждым верхним числом подписываем то, которое подставляется вместо верхнего. Так, первая подстановка оставляет все число без изменения (т.н. тождественная подстановка); вторая переводит 1 в 1, 2 в 3, 3 в 2; третья переводит 1 в 3, 2 в 2 и 3 в 1 и т.д. Нетрудно убедиться, что это есть именно группа подстановок, если под композицией понимать последовательное проведение подстановки. Так, «помножим» второй элемент группы на третий: вторая подстановка оставляет 1 без изменения, третья же переводит ее в 3; вторая переводит 2 в 3, третья же 3 в 1; наконец, вторая переводит 3 в 1, третья же 1 в 2; итак, получаем новую подстановку 3, 1, 2, а это есть не что иное, как шестая подстановка. Ассоциативность тут, безусловно, сохранена, но коммутативности не существует – это легко увидеть при соответствующих операциях. Единичным элементом тут является тождественная подстановка, а обратный сразу виден для любой подстановки. Итак, это группа.
b) Часто случается, что, изучая разные предметы, мы замечаем, как они при всей своей несхожести выражаются одной и той же группой, для которой существует, таким образом, только одна таблица Кэли. Такие группы называют изоморфными или, точнее, одноступенно-изоморфными. Другими словами, если элементы двух групп можно расположить так, что если AlAk = Al, то и BlBk = Bl, то эти группы изоморфны. И вот в теории групп доказывается теорема: всякая отвлеченная группа изоморфна некоторой группе подстановок. Это сразу видно из таблицы Кэли, в которой каждая строка содержит как раз все элементы группы, а переход от одной строки к другой есть только перестановка этих элементов. Если так, то отсюда мы получаем некоторый универсальный метод исчерпывающего представления любой группы, который к тому же замечательно прост и удобен (хотя простота эта скорее теоретическая, а не практическая). Если мы вспомним вышеприведенный пример с вращением равностороннего треугольника, где этих вращений было именно шесть, то эту же самую группу мы можем представить как группу подстановок трех вершин треугольника A, B, C:
ABC ABC ABC ABC ABC ABC
ABC BCA CAB ACB CBA BAC.
Так же можно представить и приводившуюся группу шести рациональных функций (представляющую, кстати сказать, группу значений ангармонического отношения четырех точек на прямой при всевозможных их перестановках).
c) Но обратим внимание на то, как мы «перемножаем» подстановки. Тут полная аналогия с «умножением» матриц. Можно поэтому всякую группу представить матрично; всякая группа есть в известном смысле группа матриц. Возвращаясь к нашему примеру группы шести рациональных функций, мы можем представить ее изоморфно в матрицах второго порядка так:
То же в виде матриц третьего порядка так:
соответственно таблице Кэли:
1
A B 1 1
A B A A A2 AB B B AB B2 Тут мы возвращаемся к данной вначале диалектической дедукции группы из детерминантно-матричных отношений. Ряд матриц связан здесь единым композиционным принципом, скользящим от одного элемента к другому и охватывающим их все вместе. Выразительная природа композиции сказывается именно в этом тяготении одного элемента к другому, в этом смысловом становлении, которое образуется по причине того, что каждый элемент есть «произведение» двух других и все, таким образом, объяты одним взаимным тяготением.
d) Это делается еще яснее, когда мы стараемся осознать обычно практикуемый в теории групп метод циклического представления. Циклом называется такая подстановка, в которой каждый знак заменяется следующим за ним, а последний – первым. При этом совершенно неважно, с какого знака начинать, лишь бы сохранялся указанный порядок. Ничто не мешает и всякую подстановку расположить так, чтобы смена знаков происходила последовательно, как указано только что; или, точнее, всякая подстановка может быть представлена как произведение циклов, не имеющих общих элементов. Следовательно, всякая подстановка, т.е. всякая группа, в этом смысле циклична и притом однозначно-циклична. Но циклическое расположение наилучше рисует тот момент в композиции группы, который мы именуем выразительно-становящимся. Цикличность по самому своему смыслу есть нечто становящееся. Поэтому она и отражает в себе наилучше выразительную природу группы. Ведь выражение есть именно фигурно-становящаяся, текучая сущность.
e) Наконец, важно знать еще и то, что полная группа всех возможных подстановок данного числа знаков обладает одним специальным свойством. Именно, если под степенью группы понимать число знаков, участвующих в подстановках, то все n подстановок n знаков образуют т.н. симметрическую группу n-й степени. Такова, напр., тройная группа, приведенная выше в виде таблицы Кэли, или четверная, которую еще рельефнее можно выразить так:
E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E Мы видим здесь замечательную симметрию знаков относительно обеих диагоналей таблицы. В теории групп доказывается, что симметрическая группа содержит n!/2 четных и столько [же] нечетных подстановок. Группа всех четных подстановок n знаков называется полусимметрической, или знакопеременной, группой.
4.
До сих пор мы занимались, собственно говоря, только определением понятия группы, мало входя в рассмотрение ее структуры в собственном смысле. Но развитое выше понятие группы со всеми его подробностями в отношении структуры самой группы есть только перво-принцип. Поэтому развитая структура группы должна быть рассматриваема еще с весьма многочисленных точек зрения. Укажем некоторые понятия из теории групп, относящиеся к структуре группы.
a) Структура группы в ее принципе (а не перво-принципе), в ее бытии характеризуется различным комбинированием входящих в нее элементов. Введем необходимейшее понятие подгруппы. Это та группа, все элементы которой входят в другую группу; в отношении последней она и называется подгруппой. Структура группы выявляется проще всего при помощи разложения по модулю. Если M подгруппа J, то имеется известное количество элементов A, B, C, … J таких, что J = MA + MB + MC + … + MJ. Это значит, что мы компонируем последовательность элементов, составляющих подгруппу M со всеми элементами, входящими в J, но не
