выявлен нетипичный кашель, действительно больны. При каждом обновлении детектора вам придется высчитывать это вручную.
К счастью, преподобный Байес предложил нам способ получше. Существуют три другие связанные вероятности для определения точности детектора, вычисление которых значительно проще. Первое, вы меняете местами члены условной вероятности и вычисляете вероятность того, что зараженные коронавирусом верно определены вашим детектором по характерным признакам кашля. Получаем следующее:
вероятность (подозрительный кашель | есть коронавирус)
Кажется, что ничего не изменилось, но на самом деле выполнить такое вычисление намного легче. В данном случае необходимо учитывать только небольшую группу людей с коронавирусом. При их обследовании использовать детектор и далее высчитать, какой процент из них действительно имеют сомнительный кашель. Предположим, что у 95% больных коронавирусом действительно наблюдается подозрительный кашель. Тогда вероятность (подозрительный кашель | есть коронавирус) = 0,95.
Второе, необходимо вычислить вероятность гипотезы, то есть вероятность, что среди общей массы населения обнаружен зараженный. И вновь это несложно сделать, учитывая собранные ранее данные. Выполнять расчеты каждый раз при обновлении детектора не требуется, поскольку данные от него не зависят. Вы можете выявить значение по косвенным данным, например через анализ состава сточных вод. Переводя в символы, получаем вероятность, выраженную следующим образом:
вероятность (есть коронавирус).
Давайте предположим, что 2% населения сейчас больны коронавирусом. Следовательно, вероятность (есть коронавирус) = 0,02.
Третье, теперь нужно вычислить вероятность наблюдения, то есть вероятность того, что у обозначенного детектором человека есть подозрительный кашель. Такое вычисление легко выполняется на основе тысяч аудиофайлов. Затем высчитать, какая доля отмечена как подозрительная. В данном случае не имеет значения, действительно ли человек болен. В символах у нас получится следующее:
вероятность (подозрительный кашель).
В качестве альтернативного способа, если вы знаете частоту ложных срабатываний датчика (группа не больных людей, но у которых отмечено наличие подозрительного кашля), то вам и не нужно измерять это, можно посчитать напрямую.
Предположим, что частота ложных обнаружений равна 5%, то есть детектор ошибочно определил 5% не больных коронавирусом людей как имеющих подозрительный кашель. Вы можете разбить вычисление вероятности вероятность (подозрительный кашель) на две части. Мы знаем, что 2% людей больны коронавирусом, а детектор верно определил, что у 95% из них подозрительный кашель. Также мы знаем, что остальные 98% населения не заражены. Детектор ошибочно определил 5% из них как имеющих подозрительный кашель. Следовательно, доля людей, идентифицированных корректно или нет на наличие кашля, составляет (0,02 × 0,95) + (0,98 × 0,05), итого 0,068. То есть при помощи детектора у 6,8% населения обнаружен подозрительный кашель. Получается, что вероятность (подозрительный кашель) = 0,068.
Теперь мы можем использовать все три вероятности для вычисления точности детектора. И все это благодаря прекрасным взаимоотношениям между четырьмя вероятностями, которые Байес сам же и установил. Это настолько просто, что мы можем вывести формулу самостоятельно буквально с нуля.
Предположим, что мы проверили наш детектор на тысяче человек. Учитывая, что 2% населения больны COVID–19 (помним, что вероятность (есть коронавирус) = 0,02), то у 20 человек из 1000 вирус будет обнаружен. Также мы знаем, что детектор не идеален и только лишь 95% из этих 20 действительно будут идентифицированы как имеющие подозрительный кашель (помним, что вероятность (подозрительный кашель | есть коронавирус) = 0,95). 95% от 20 равно 19. Соответственно, наш детектор отметит 19 больных из 20 как имеющих подозрительный кашель.
Мы также знаем, что у 6,8% населения детектор выявляет подозрительный кашель (помним, что вероятность (подозрительный кашель) = 0,068). Из этого следует, что из 1000 протестированных 68 получат отметку о подозрительном кашле. Но мы только что вычислили, что только 19 из тех, кто отмечен, действительно больны коронавирусом. Таким образом, доля тех, кто подозрительно кашляет и кто болен, составляет 19/68 или 0,279. Таким образом, 27,9% из тех, кто идентифицирован системой на признаки подозрительного кашля, на самом деле больны.
В действительности, не имеет значение количество протестированных. Такой же результат мы получим, если исходное количество будет 10 000 или 100 000. Теорема Байеса систематизирует это рассуждение, говоря нам, что эти четыре вероятности связаны простым и красивым уравнением:
вероятность (подозрительный кашель | есть коронавирус)
=
вероятность (подозрительный кашель)
= (0,95 х 0,02) / 0,068
= 0,279
Таким образом, хотя наша система правильно определяет 95% людей как больных коронавирусом и имеющих подозрительный кашель, вероятность того, что случайный человек, у которого детектор выявил подозрительный кашель, действительно болен COVID–19, составляет всего лишь 27,9%. Иными словами, в большинстве случаев, когда детектор обнаруживает человека с патологическим кашлем, у него нет коронавируса. И наш детектор оказывается не очень-то и хорош!
Проблема заключается в том, что большинство людей не инфицировано коронавирусом. Следовательно, проведение тестирования наугад, даже если тест на кашель максимально точен, скорее всего, даст большое количество ложноположительных результатов. Такие рассуждения важны не только для толкования полученных от детектора данных, но и могут использоваться в других системах на основе искусственного интеллекта от распознавания речи до рекомендаций фильмов. На самом деле, теорема Байеса настолько основополагающая в разработке программного обеспечения, что часто приравнивается по значимости к теореме Пифагора в геометрии [1]. Во многих системах искусственного интеллекта она стала неотъемлемой составляющей для расчета вероятностей. Из всего вышесказанного вытекает шестая основная идея, используемая в разработке искусственного интеллекта сегодня. Можно вычислить вероятность события, имея наблюдение о нем, с помощью теоремы Байеса.
Теорема Байеса сегодня находит множество применений в различных областях. Например, благодаря ей спам приходит на вашу электронную почту реже, чем раньше, поскольку в функционал встроен фильтр, использующий теорему Байеса для вычисления вероятности того, что новое письмо является спамом. Рекомендации на стриминговом сервисе Netflix также используют теорему, чтобы вычислить вероятность того, что определенный фильм понравится вам. Такие предсказания достаточно точны. Четыре фильма из пяти, которые смотрят на сервисе не те, что целенаправленно вбиваются в поиск, а рекомендованные ИИ [2]. В 1970-е годы ВМС США использовали теорему Байеса для вычисления возможных траекторий советских атомных подводных лодок.
Илл. 24. Преподобный Томас Байес
К сожалению, нам известно очень мало о математическом вдохновителе такой значимой идеи. Преподобный Томас Байес родился в 1701 или 1702 году, вероятнее всего, в Хартфордшире. После изучения логики и теологии в университете Эдинбурга он стал пресвитерианским священником. Он скончался в 1761 году и за всю жизнь опубликовал всего лишь две работы: трактат о богословии и обоснование системы вычислений Ньютона. Работа на тему вероятности была опубликована
