часть представляет собой уменьшенную копию целого. Строгое самоподобие редко встречается в природе. Природные формы представляют собой бесконечную последовательность мотивов, повторяющих самих себя внутри других мотивов на разных масштабах с некоторым искажением. Таковы раковина наутилуса или капуста брокколи. Если отламывать от кочана соцветия брокколи, то кусочки будут все меньше и меньше, они до какого-то предела все равно будут подобием целого кочана. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются обычно при увеличении на 2 порядка (макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки — диаметр около 100 макромолекул и т. д.). С изменением масштаба строгое самоподобие нарушается, но сохраняется некоторый лейтмотив, схожесть не совсем точная, но все-таки заметная. Это и есть нестрогое самоподобие. Нестрогое самоподобие, в свою очередь, есть условие того, что часть может представлять собой деформированную копию целого. Мандельброт отказался от строгого формализма и сформулировал условие, согласно которому фрактальное подобие не требует абсолютной идентичности. Енс Федер в книге «Фракталы» (1988) со ссылкой на частную беседу с Мандельбротом привел определение фрактала с акцентом на нестрогое самоподобие: «Фрактальной называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».
Фрактальный повтор
Когда какое-то действие необходимо повторить большое количество раз, используются циклические процессы и процедуры. Один шаг цикла называется итерацией.
Серийное производство есть «итерация по шаблону», т. е. на каждом шаге вычислений идет возврат к начальному условию. Здесь каждый новый цикл стартует «от печки». «Итерацию по шаблону» использует программист, когда ему нужно вывести сто раз на экран текст «Iteration». Вместо стократного повторения одной и той же команды вывода текста программист создает цикл, который повторяется сто раз, и сто раз выполняет то, что написано в «теле цикла».
Совсем иное дело, когда итерация имеет формат рекурсии. В этом случае результат предыдущего шага итерации становится начальным условием для следующего. Так, например, положение и скорость тела в каждый момент времени определяются через положение и скорость тела в предыдущий момент времени. Визуально рекурсия иллюстрирует рекламный трюк — эффект Дросте.
Эффект Дросте — термин ввел в конце 1970-х годов журналист Нико Схепмакер по названию голландской марки какао фирмы Droste, которая использовала этот эффект на упаковке своей продукции в 1904 году.
Эффект рекурсии достигается таким образом: на фотографии размещается уменьшенный вариант той же фотографии или объекта с этой фотографии, на уменьшенной копии размешается еще более уменьшенная фотография, и так далее
Иллюстрация эффекта Дросте на примере видеоинтерпретации картины Эшера Galeria degrabados, 1956
Хорошей математической иллюстрацией рекурсии являются числа Фибоначчи. Этот термин придумал в XIX веке французский математик и автор многих популярных математических головоломок Эдуард Люка. Числа Фибоначчи — первая известная в Европе рекурсивная последовательность. Многие из тех, кто изучал математику, естественные науки или искусства, слышали о Фибоначчи исключительно благодаря следующей задаче из главы XII его «Liber abaci» («Книга абака», 1202):
«Некий человек поместил пару кроликов в огороженное со всех сторон место. Сколько пар кроликов произойдет от этой пары за год, если предположить, что каждый месяц каждая пара порождает новую пару, которая еще через месяц становится способна приносить потомство ?» Суть проста. Сначала у нас одна пара. Проходит первый месяц, первая пара порождает еще пару, их становится две. Проходит второй месяц, взрослая пара порождает еще одну юную пару, а молодая пара тем временем подрастает. Итак, у нас три пары. Проходит третий месяц, каждая из двух взрослых пар порождает еще по паре, а юная пара подрастает; итак, у нас уже пять пар. Проходит четвертый месяц, каждая из трех взрослых пар порождает еще по паре, а две юные пары подрастают, следовательно, у нас уже восемь пар. После пяти месяцев у нас по юной паре от каждой из пяти взрослых пар плюс три подрастающие пары — всего тринадцать пар.
Теперь мы уяснили закономерность и знаем, как получить число взрослых пар и юных пар и общее число пар кроликов в каждый последующий месяц. Предположим, нас интересует только число взрослых пар в каждый конкретный месяц. Это число состоит из числа взрослых пар в предыдущий месяц плюс количество юных пар (к данному моменту успевших повзрослеть) в тот же предыдущий месяц. Однако количество юных пар месяц назад на самом деле равно количеству взрослых пар в позапрошлом месяце. Итак, в каждый конкретный месяц, начиная с третьего, количество взрослых пар просто-напросто равно сумме количества взрослых пар за два предшествующих месяца. Итак, количество взрослых пар подчиняется последовательности
1, 1, 2, 3, 5, 8...
Ничего не напоминает?
Ну конечно, это же самоподобная «золотая последовательность»!
Из рисунка очевидно, что количество юных пар подчиняется в точности той же последовательности со сдвигом на один месяц. То есть количество юных пар равно
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...
Естественно, общее количество пар — сумма этих последовательностей, и оно совпадает с последовательностью для количества взрослых пар без числа за первый месяц:
1, 2, 3, 5, 8.
Последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих чисел, представляет собой ряд Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Условие, согласно которому каждый член последовательности Фибоначчи равен сумме двух предыдущих членов, математически выражается формулой, которую в 1654 году вывел Альбер Жирар:
un+2 = un+1 + un.
Здесь n — это номер члена последовательности (например, u3 — это третий член последовательности), un+1— это следующий за ним член последовательности (то есть если n = 3, то n+1=4), а un+2 — это член последовательности, следующий за un+1, то есть пятый член последовательности Фибоначчи.
Рекурсивная функция Фибоначчи применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду чисел, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.
Фрактальная размерность
Во фрактальном мире повторение, встроенное в процесс построения фракталов, производит эффект одинаковой «изрезанности», или «сморщенности» фрактальных фрагментов и фрактала в целом.
Мандельброт задался вопросом: как определить меру изломанности фрактальной структуры?
В мире евклидовой геометрии
