В этот момент она напоминает паутину, которая постоянно уплотняется. Размерность такой паутины принимает промежуточное значение между 1 и 2.
Именно такое обобщенное понятие размерности предложил Хаусдорф. Результатом работ Хаусдорфа и Безиковича стало новое техническое определение размерности, согласно которому при уменьшении величины δ размерность измеряемого объекта равна отношению логарифма от N к логарифму от 1/δ. По существу это показатель степени q в формуле
N ~ 1/δq.
Такое отношение запросто может быть не только целым, но и дробным, притом что топологическая размерность — всегда целое число — 1, 2, 3.
Суть рассуждений Хаусдорфа и Безиковича заключается в следующем. Пусть у нас есть пластичная универсальная палетка, которая для одномерного объекта трансформируется в отрезок, для двумерного — в квадрат, а для трехмерного — в куб. Мерой ячейки этой палетки будут: для одномерного объекта — длина δ1, для двумерного — площадь δ2, и для трехмерного — объем δ3. В обобщенном случае мерой ячейки является величина δd. Мерой объекта, покрытого такими ячейками, является, очевидно, величина N — число ячеек, соприкасающихся с измеряемым объектом. При условии, что размер ячейки 8 уменьшается, стремясь к нолю, величина
N ~ δd.
Таким образом, мера N зависит от выбранной наблюдателем размерности палетки — от величины d. Вместе с тем мы видели, что число ячеек N, соприкасающихся с измеряемым объектом, есть величина, обратно пропорциональная размеру ячейки δ в некоторой степени q:
N ~ 1/δq.
Величина q при этом характеризует структуру измеряемого объекта и не имеет отношения к палетке наблюдателя. Оба условия совмещаются, если
N ~ (δd) x (1/δq).
To есть
N ~ δd-q.
Знак «~» означает «пропорционально» и может быть заменен знаком равенства при умножении комплекса δd-q на некоторую константу — const:
N = const x (δd-q).
При δ → 0:
если d - q > 0,
величина N → 0,
а если d - q < 0,
то величина N → ∞. Только при
d = q
мера N принимает конечное значение, равное постоянной const, которое и называется размерностью Хаусдорфа — Безиковича. Это своего рода условие, при котором совпадают меры измеряемого и измеряющего объектов.
В практических расчетах для определения размерности Хаусдорфа — Безиковича используются упрощения, вполне обоснованные для большинства сложных форм. Так, на основании приведенной выше формулы
N ~ δd,
размерность d может быть представлена отношением ln(N) к ln(δ). Рассчитать размерность d можно по двум точкам (N1, δ1)и (N2, δ2):
Алгоритм определения фрактальной размерности обычно сводится к следующему. Строится график зависимости N от δ в логарифмических координатах. Точки на графике обычно ложатся на отрезок прямой, угол наклона которой и равен d (см. рисунок). Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии — 1,52; для Великобритании (линия 1) — 1,25; для Германии (линия 2) — 1,15; для Австралии (линия 3) — 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки (линия 4) — 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности (линия 5) — 1,0.
Размерность Хаусдорфа — Безиковича отличается от евклидовой. Она может принимать нецелые значения. Она неизменна (инвариантна) при рассмотрении объекта «вблизи или издалека». Будучи трансмасштабной, она не имеет отношения к геометрии фрагмента или фрактала в целом. Фрактальная размерность, если она отражает геометрию, то прежде всего геометрию трансформации фрагмента при переходе от одного масштаба к другому.
Обратим внимание на то, что дробная размерность не имеет ничего общего с «дырами» в пространстве. Дробность связана с тем, как сетка наблюдателя соотносится со структурой объекта наблюдения.
Как бы ни приближались друг к другу меры измерения и измеряемого, между ними всегда возможно некоторое различие. Различие проявляет себя в дробной размерности, выраженной рациональными или иррациональными числами. Появление последних говорит о несоразмерности мер измеряющего и измеряемого, но это не исключает их соизмеримости.
Ведь суть иррационального числа — соизмерять несоразмерное.
Греческие мыслители внимательно и тщательно изучали иррациональные числа. Постигая гармонию сфер и правильных фигур, греческая цивилизация сделала следующий шаг. Греки обратили внимание на такое качество окружающих их вещей и явлений, как симметрия. Греческое слово ΣYM-METPIA означает «совместно измеренное». Греки интуитивно угадывали, что такое качество, как иррациональность чисел и такое качество, как симметрия структур, оба имеют отношение к процессу «совместного измерения».
Пророчество пифагорейцев
Пифагорейцы, быть может, первыми осознали силу числа — символа в его самом чистом виде. Пифагорейцам открылось, что число, будучи по существу виртуальным и воображаемым, не менее реально, чем любой существующий предмет или любое имевшее место явление. И пифагорейцы обнаружили числа не только в том, что можно рассмотреть, но и в том, что можно расслышать. Пифагорейцы искали и находили гармонию чисел во всем: в образах, в звуках, в логике и мистике.
Их не могла не тревожить задача о «квадратуре круга». Построить квадрат той же площади, что и круг, с помощью циркуля и линейки пифагорейцам никак не удавалось. Главная причина была в том, что им мешали странные числа, которые не сводятся к отношению двух целых чисел. Эти числа мы называем иррациональными.
Иррациональные числа пугали пифагорейцев. Их древняя мудрость остерегает открывать эти числа неподготовленным, ибо кто коснется тайны этих чисел, тот погрузится в «пучину возникновения и будет обмываемым ее волнами, не знающими покоя». В схолиях к X книге «Начал» Евклида приведена пифагорейская легенда о гибели при кораблекрушении Гиппаса Месопотамского, разгласившего, что отношение диагонали к стороне квадрата не может быть выражено в виде отношения двух натуральных чисел, то есть является иррациональным. И силу этого пророчества через несколько столетий испытал на себе Фидий. Фидий, открывший самое известное иррациональное число sectia aurea — «золотое сечение», — скончался в изгнании, обвиненный противниками Перикла в том, что присвоил часть золота для статуи Афины, а также изобразил на щите Афины среди прочих себя. Все это мистическим образом подтверждало предостережение пифагорейцев.
Что же такое иррациональное число? Величина корня из двух — быть может, простейшее иррациональное число. Оно представляет собой решение простого квадратичного уравнения
X2 - 2 = 0.
Мы регулярно сталкиваемся с ним при использовании листов формата А — A3, А4, А5, но мало кто знает, что их соразмерность достигается притом, что их стороны друг с
