другом несоизмеримы. Нельзя найти такой меры длины, которая укладывалась бы целое число раз по периметру всех известных форматов. И это связано с тем, что соотношение сторон листов формата А равно иррациональному числу 1,4142... Так, для формата А4 это 210х197 мм: 210/197 = 1,4142... Для формата А5 — 197x148 мм: 197/148 = 1,4142... и так далее. При этом, как видно из рисунка, все форматы соразмерно размещаются на листе мастер-формата АО.
Иррациональных чисел существует великое множество. В общем, иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Многие иррациональные числа нам хорошо знакомы.
Так, если бы «Оскара» стали присуждать иррациональным числам, то, вне сомнений, больше всего их соберет число π — отношение длины окружности к ее диаметру.
И эта вездесущесть числа π связана с тем, что окружность есть самая симметричная из всех симметричных фигур.
Симметрия и суперсимметрия
Вскипятите его, остудите во льду
И немножко припудрите мелом,
Но одно безусловно имейте в виду:
Не нарушить симметрию в целом!
Льюис Кэрролл. Охота на Снарка
(пер. Г. Кружкова)
Симметрии пронизывают все вокруг. Их много. Они разные. По большей части они скрыты от глаз. Человек распознал симметрию, как и красоту, когда стал осознанным, когда австралопитек стал Homo Sapiens. Благодаря шестому чувству — сознанию — человек стал различать символическую структуру вещей и явлений. Это случилось более тридцати тысяч лет тому назад. Появились зарубки на костях бабуина. Появилась пещерная живопись. И вскоре появился орнамент. Он появился уже в палеолите. Геометрическим узором покрыты браслеты, всевозможные фигурки, вырезанные из бивня мамонта. Первые орнаменты — это множества абстрактных зигзагообразных линий. Орнамент радикально отличается от блестящих по реализму пещерных рисунков. Изучив с помощью увеличительных приборов структуру среза бивней мамонта, исследователи заметили, что они по своей природе состоят из зигзагообразных узоров, очень похожих на зигзагообразные орнаменты. Таким образом, человек создал орнамент, когда увидел и распознал структуру, созданную самой природой. Но древние художники не только копировали природу, они вносили в первозданный орнамент новые комбинации и элементы.
Наскальные рисунки. Форсельв. Норвегия
Ваза шумерского царя Энтемены, 2700 г. до н. э. Это зеркально-симметричная симметрия и симметрия при повороте на 180°
Новый уровень понимания симметрии мы обнаруживаем в осколках шумерской цивилизации. Шумеры — древнейшее население Междуречья между реками Тигром и Евфратом. Шумеры изображали не только зеркальную симметрию, но также менее очевидную симметрию, когда один фрагмент переводится в другой не отражением, а поворотом на 180°.
Пифагорейцы изучали выпуклые равносторонние многогранники. На плоскости можно нарисовать равносторонний многоугольник с любым числом сторон. Но в трех измерениях таких фигур, любая из граней которых есть один и тот же правильный многоугольник, существует всего пять. Считается, что пифагорейцы знали только три такие фигуры. Весь набор из пяти фигур впервые был описан древнегреческим математиком Теэтетом, близким к Академии Платона. Эти многогранники называют «Платоновыми телами», поскольку в своем трактате «Тимей» Платон придал им глубокий философский смысл. Четырем из них он сопоставил стихии (землю, воздух, воду и огонь): земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр, а огонь — тетраэдр. Основанием этому служат эмоциональные ассоциации: жар огня ощущается четко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если ее взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно не похожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. А с пятым элементом — додекаэдром — Платон связывал квинтэссенцию, буквально «пятую сущность».
Слева направо: гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия», додекаэдр и икосаэдр (из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»)
Симметрии тетраэдра: 8 поворотов относительно вершины; 3 поворота относительно середин сторон ребер; 12 отражений.
Итого 24 преобразования
В последней, XIII книге «Начал» Евклид суммировал выводы греческих геометров и дал полное описание симметрий правильных многогранников. Он заметил, что все они «как бы состоят» из тетраэдров. Тетраэдр — простейший элемент. И у него 24 преобразования симметрии. Уже здесь проявилось понимание того, что симметрия не только форма, но и процесс преобразования формы.
Процесс преобразования — существенный элемент симметрии. Следующий прорыв в понимании симметрии был сделан в эпоху Возрождения. О телах Платона тогда много писали геометры, архитекторы и художники. Например, Пьеро дела Франческо, Дюрер, Лука Пачоли и Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи собирал из дерева каркасные модели Платоновых тел и изучал то, что скрыто по ту сторону от их форм. Его вдохновлял тот факт, что в телах Платона вдруг обнаружились символические числа — «золотая пропорция» и числа Фибоначчи в додекаэдре. Кодовые числа как бы скрываются в тени симметрии.
Симметрия означает форму, процесс преобразования и символическое число. Идею прекрасного, но скрытого порядка, который можно явить только в числах, формулирует Гален. Гален, пересказывая казной древнегреческого скульптора Поликлета, приходит к выводу:
«Прекрасное мало-помалу возникает из множества чисел». Симметрия привлекательна для человека тем, что она есть манифестация чисел. И эта идея получила свое развитие в XX веке. В 1910-х годах Феликб Клейн (автор книги об икосаэдре) писал:
«[Платоновы тела] проходят через всю историю науки. Пифагорейцы видели в них символы некоего мистического совершенства... Тринадцать книг Евклида служили лишь введением к их построению... А в наши дни они снова вступают в поле зрения математиков». Речь идет о теории групп, изобретенных французским математиком Эваристом Галуа в XIX веке. Галуа обнаружил, что произведение любых перестановок из списка корней алгебраического уравнения само является перестановкой этого уравнения. Именно такой набор перестановок Галуа назвал «группой».
Так, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях — тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между
