Степени свободы термодинамические
Сте'пени свобо'ды термодинами'ческие, см. Термодинамические степени свободы .
Сте'пени сравне'ния, грамматическая категория, выражающая степень качества, характеризующего данный предмет или действие. Различаются положительная, сравнительная и превосходная степени (в некоторых языках имеется только две С. с. — положительная и элатив, совмещающий значения сравнительной и превосходной степеней). Сравнительная степень указывает на наличие у объекта какого-либо качества в большей степени, чем у другого, превосходная — больше, чем у всех прочих объектов. Положительная степень обозначает качество безотносительно к степени. С. с. имеются преимущественно у прилагательных и наречий («умный» — «умней» — «умнейший»; «умно» — «умнее»), но в некоторых языках также у существительных и глаголов, осмысляемых как означающие качество, например коми «кужöджык» — «более умеет» при «кужö» — «умеет». С. с. выражаются аффиксами («умней») или аналитически («более умный»).
«Степе'нная кни'га», памятник русской исторической литературы. Была составлена по инициативе митрополита Макария духовником Ивана IV Васильевича Грозного Андреем (будущий митрополит Афанасий) между 1560 и 1563. «С. к.» была попыткой систематического изложения русской истории. Разделена на 17 граней или степеней и охватывает время от княжения Владимира Святославича «святого» до Ивана IV (включительно). В «С. к.» прославляется московская монархия и утверждается идея о божественном происхождении самодержавной власти. «С. к.» связывает происхождение царствующего рода с римским императором Августом, наследниками которого объявлялись киевские, а затем владимирские и московские князья. Второй комплекс идей «С. к.» посвящен союзу светской и духовной власти. Описания русских князей и правителей носят житийный характер (славословие их «святых подвигов» и «истинного благочестия»), в каждую грань включено и жизнеописание «святейших» из русских митрополитов. «С. к.» была в 16—17 вв. одним из наиболее популярных исторических произведений. Сюжеты её оказали большое воздействие на монументальную настенную живопись 16—17 вв. (роспись 1564—1565 московского Архангельского собора и др.).
Изд.: Полное собрание русских летописей, т. 21, ч. 1—2, СПБ. 1908—13.
В. Д. Назаров.
Степенна'я фу'нкция, функция f (x ) = ха , где а — фиксированное число (см. Степень ). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. xa . Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а — рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х < 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то xa не имеет действительного значения ни при каком х < 0. При х = 0 степенная функция xa равна нулю для всех а > 0 и не определена при а < 0; 0° определённого смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а — рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С. ф. Для х > 0 С. ф. — возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а < 0. С. ф. непрерывна и дифференцируема во всех точках её области определения, за исключением точки х = 0, в случае 0 < а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом (xa )' = axa-1 . Далее,
, при a ¹ -1;
в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.
Функции вида у = cxa , где с — постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики — прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1 ), при а = —1 — обратную пропорциональность (графики — равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2 ). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cxa (см. рис. 3 ); например, у = cx2 выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у — путь, х — время, 2c — ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).
В комплексной области С. ф. z a определяется для всех z ¹ 0 формулой:
, (*)
где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то С. ф. z a однозначна:
.
Если а — рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то С. ф. za принимает q различных значений:
где ek = — корни степени q из единицы: и k = 0, 1, …, q - 1. Если а — иррациональное, то С. ф. z a — бесконечнозначна: множитель ea2k pi принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С. ф. za определяется той же формулой (*). Например,
так что, в частности, , где k = 0, ± 1, ± 2,....
Под главным значением (za )0 С. ф. понимается её значение при k = 0, если —p< argz £ p (или 0 £ argz < 2p). Так, (za )= |za |eia arg z , (i )0 =e - p/2 и т.д.
Рис. к ст. Степенная функция.
Рис. к ст. Степенная функция.
Степенно'й вы'чет, или вычет степени n по модулю m (n — целое число, большее единицы, m — целое число). Такое число а, для которого сравнение xn — а (modm ) разрешимо. В частности, при n = 2 С. в. называется квадратичным вычетом , при n = 3 — кубическим, при n = 4 — биквадратичным.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.
Степенно'й ряд, ряд вида a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +... + an zn +...,
где коэффициенты a 0 , a 1 , a2 ,..., an ,... — комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z . Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D = {z : |z | < R } с центром в точке z = 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R — радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0 (в этом случае R = 0; пример: ) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = ¥; пример: ). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши — Адамара
.
Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z | = R ) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры: , R = 1, ряд расходится в каждой точке окружности ;
, R = 1,
ряд абсолютно сходится во всех точках окружности . В любой внешней точке круга сходимости (lz l > R ) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р. является аналитической функцией ; производные любого порядка функции f (z ) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.
