Ознакомительная версия. Доступно 28 страниц из 185
без какого-либо начального знания. И действительно, коллеги Архимеда, которым тот посылал свои новые теоремы, обычно не могли найти доказательства, поскольку не представляли, как вообще подступиться к предложенным задачам.
В своих первых книгах Архимед старался не упоминать о том, что использует атомистические походы. Даже механические решения с помощью закона рычага уже являлись достаточно смелым шагом. Однако, убедившись в эффективности использования неделимых, Архимед написал об этом Эратосфену — главе Александрийской библиотеки и одному из сильнейших математиков своего времени. Данное послание известно нам под названием «Метод механических теорем» или просто «Метод» (либо «Эфод», от греческого «ἔφοδος» — метод).
Письмо (по сути это книга, имеющая форму послания) начинается с обычного в те времена пожелания здоровья адресату, после чего мы узнаем, что ранее Архимед уже отправлял Эратосфену несколько своих новых теорем с предложением отыскать их доказательства самостоятельно. Перечень задач был следующим:
— доказать, что сегмент параболоида вращения в полтора раза больше объема конуса с теми же основанием и высотой;
— доказать, что если сегменты одного параболоида вращения образованны параллельными сечениями (не обязательно перпендикулярными оси), то объемы этих сегментов относятся как квадраты осей;
— доказать, что эллипсоид вращения имеет объем равный 2/3 объема описанного цилиндра;
— доказать, что центр тяжести параболоида находится на оси вращения и удален на 1/3 от основания;
— определить объем тела, составленного из двух вписанных в куб цилиндров с перпендикулярными осями;
— доказать, что если в прямую квадратную призму вписать цилиндр и провести плоскость через верхнее ребро куба и нижний центр цилиндра, то малая отсеченная часть цилиндра будет иметь 1/6 от объема всей призмы.
Судя по всему, глава Александрийской библиотеки — блестящий геометр и выдающейся философ — не сумел справиться ни с одной из предложенных задач, поэтому Архимед и посчитал необходимым раскрыть собственные решения, а также и метод своей работы. В письме к Эратосфену все теоремы, кроме последней, доказываются сперва с помощью закона рычага (то есть механически), а затем уже — классическим методом исчерпывания. Для демонстрации возможностей механического метода, Архимед предварительно приводит несколько лемм из механики, а затем решает уже известные нам задачи о площади параболы и объеме шара.
Выше мы уже говорили о том, как Архимед определял объем шара, однако будет любопытным кратко коснуться и решения, описанного в «Эфоде», поскольку там оно получено с помощью закона рычага.
Пусть имеется некоторый шар. Построим дополнительно конус и цилиндр так, как это показано на чертеже: у конуса и цилиндра будет общее основание с диаметром, который вдвое превышает диаметр шара. Если провести какую-либо вертикальную плоскость, то в сечении каждого из этих трех тел мы получим по кругу с различными диаметрами: NM для цилиндра, KL для шара и PQ для конуса. Вид этих сечений показан под чертежом, причем, в зависимости от положения секущей плоскости, диаметр сечения конуса PQ может быть как меньше, так и больше диаметра сечения шара KL.
Предположим, что точка O является точкой опоры равноплечего рычага AH. Если аккуратно составить пропорции между площадями сечений и длинами подвеса, то окажется, что круговые элементы шара и конуса, подвешенные в точке H, уравновесят соответствующий элемент цилиндра, подвешенный в исходном положении (то есть в точке B). Проделав эту операцию для всех плоскостей, из которых составлены тела, мы установим, что цилиндр, подвешенный за свой центр масс (середина плеча AO) уравновешивается шаром и конусом, подвешенными в точке H. Учитывая полученное соотношение плеч, равное 2:1, и зная формулу для объема конуса (он равен трети от объема цилиндра), мы легко можем вычислить объем шара.
Читателю предлагается самостоятельно проделать все необходимые вычисления, а также убедиться, что рассматриваемый рычаг действительно оказывается в равновесии.
Мы не станем подробно останавливаться на основных задачах из «Эфода», поскольку это отняло бы излишне много времени, при том, что общий принцип механического метода должен быть уже достаточно хорошо понятен. Во всех случаях прямое интегрирование методом неделимых заменялось разложением на слои с целью распределения их по плечам рычага. Эта искусственная процедура создавала видимость логической непротиворечивости, перенося доказательство из области геометрии в область механики, причем решение заметно удлинялось, хотя его результат был известен изначально. Лишь последнюю самую сложную задачу (единственную во всем своем обширном наследии), про рассечение призмы и цилиндра Архимед решает чистым методом неделимых безо всякого рычага.
Особый интерес в письме к Эратосфену представляет и общий характер изложения. Сохраняя все нормы вежливости и уважения к адресату, Архимед, тем не менее, резко критикует взгляды математиков идеалистической платоновской школы. Для него абсолютно очевидно, что никто в Александрии, включая и Эратосфена, не может решать задачи аналогичные присланным. Причем, если просто сообщать доказательства, оформленные с помощью общепризнанного метода исчерпывания, то пользы от этого будет немного, ведь никто так и не узнает способа отыскивать новые теоремы.
Поэтому Архимед решается, наконец, поделиться истинным методом своей работы. Ссылаясь на Демокрита, он безо всяких оговорок и допущений излагает основы математики атомистов, разделяя геометрические тела на чрезвычайно тонкие пластины, из которых эти тела, по его мнению, и состоят. Любые умозаключения, полученные для таких пластинок, распространяются на все тело, поскольку оно целиком ими заполнено. Точно также и фигуры у Архимеда целиком состоят из линий.
Раз уж атомистический подход полезен, то им, по твердому мнению Архимеда, необходимо пользоваться. Если имеются сомнения в его достоверности и убедительности, то готовый результат всегда можно проверить логически безупречными методами. А разного рода идеологические предрассудки и философские возражения (многие из которых выдвинул и сам Эратосфен) следует попросту игнорировать.
По иронии судьбы европейские математики, создававшие современное интегральное исчисление в XVII–XVIII веках, не знали об этом сочинении Архимеда, поскольку текст письма к Эратосфену был утерян. Лишь в 1906 году в константинопольской библиотеке Иерусалимской православной церкви обнаружилась литургическая книга, написанная на пергаменте, с которого были смыты более ранние греческие записи. Датский филолог и историк науки Йохан Любвиг Герберг (создавший, кроме прочего классическую реконструкцию «Начал» Евклида) изучил уникальный палимпсест и сумел почти полностью прочесть и издать первоначальные византийские тексты, записанные еще в X веке. Среди прочего пергамент содержал и следующие произведения Архимеда: «О равновесии плоских фигур, или о центрах тяжести плоских фигур», «О спиралях», «Измерение круга», «О шаре и цилиндре», «О плавающих телах», «Метод механических теорем», «Стомахион» (трактат о настольной игре-головоломке, целью которой было сложить квадрат из различных фигур). Последние три работы до того были известны лишь по упоминаниям у других авторов.
Отметим, что
Ознакомительная версия. Доступно 28 страниц из 185
