«Простые контуры, отражающие противоборство противоположных принципов, являются исключением. Каждый большой конфликт сопровождают тысячи малых. Таким же образом типичной структуре границы соответствуют аналогичные структуры все меньших и меньших масштабов».
Удивительно, что столь сложная структура границ и чередующихся областей сформировалась в поле всего лишь трех точек притяжения. Траектория в поле притяжения трех тел заслуживает особого внимания.
Будучи предопределенной, она непредсказуема.
Эта непредсказуемость завораживает. Иначе почему же по всему миру продают игрушку — маятник, состоящий из подвешенного на конце нити железного шарика. Под маятником находятся три магнита, притягивающие шарик. Траектория шара выглядит весьма запутанно и очень чувствительна к исходным условиям: начальному положению шара, трению и силе гравитации.
После серии колебаний маятник замрет, а шарик зависнет точно над одним из трех магнитов. Но всегда ли шарик устремится к тому из аттракторов, который окажется ближайшим к его начальному положению? Отнюдь нет! Попробуйте — и убедитесь сами. При различных начальных условиях шарик описывает весьма замысловатую траекторию, а его конечное положение представляется совершенно непредсказуемым, будучи предопределенным. Иначе говоря, траектория шарика в поле притяжения трех магнитов есть траектория на фрактале — фрагмент странного аттрактора.
Существует много вариантов перехода от порядка к хаосу. Но в их разнообразии есть нечто неизменное, нечто типовое — это конкуренция нескольких центров за доминирование. Простые границы в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место филигранно точная и чрезвычайно сложная организация границ в поле притяжения простого фрактального аттрактора.
Существует множество разнообразных фрактальных границ. Это не только фрактальные границы Ньютона. Это, например, гиперболический синус, гиперболический косинус и многие другие. Все они описываются простыми по форме функциями (не сложнее формулы Ньютона), которые занимают ничтожно мало места в памяти компьютера, производят огромное разнообразие форм, для их хранения не хватит памяти даже самого мощного компьютера. И это напоминает генетическую организацию живой материи, принцип которой в том, что ограниченный набор генов определяет неограниченное разнообразие фенотипов организмов, иными словами:
геном контролирует феном.
Исследуя границы Ньютона, Хаббард обнаружил еще одну странную особенность. Независимо от числа аттракторов, расположенных на плоскости, каждая точка границы одновременно касается областей притяжения всех аттракторов.
В случае трех аттракторов каждая точка границы будет местом, в котором встречаются все три области!
Все это звучит неправдоподобно, но «планета» на рисунке, взятом из статьи Хайнца-Отто Пайтгена и Питера Рихтера «Границы хаоса», иллюстрирует такую возможность.
Темным, светлым и серым цветами окрашены определяемые алгоритмом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чтобы образовать границу, две области (например, окрашенные в светлый и темный цвета), третья область (серая) вклинивается между ними. Чтобы эти клинья не сформировали двусторонние границы со своими соседями, они в свою очередь окружаются цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров. Маленькая луна показывает обратную сторону планеты.
Фрактал Мандельброта — метафрактал
В эпистемологии приставка «мета-» означает «о себе». Например, метаданные — данные о данных (кто выдает их, когда, какой формат данных используется и т.п.). Аналогично, метапамять в психологии обозначает интуицию личности о том, сможет ли она вспомнить нечто, если сконцентрируется на воспоминании. Фрактал Мандельброта — это метафрактал, это фрактал-ландшафт для фракталов Жюлиа.
Сложные формы, производимые простыми алгоритмами, появились на экранах мониторов после того, как Бенуа Мандельброт запустил на одном из первых компьютеров IBM итерацию Жюлиа. Описанное Жюлиа еще в 1918 году отображение выглядит крайне просто:
Z → Z2 + С.
Берем ноль, возводим его в квадрат и прибавляем к результату комплексную константу С. Полученный результат возводим в квадрат и добавляем ту же константу С. И так можно продолжать до бесконечности. Это отображение может быть применено к комплексным числам Z и С. Использование комплексных чисел усложняет расчеты, но вместе с тем позволяет увидеть весь ландшафт с «высоты птичьего полета». Когда такая возможность была реализована, появилась фрактальная геометрия.
Вычислительные машины стали детонатором фрактальных представлений. В 1977 году появилась техническая возможность рассчитать и визуализировать сложные, многократно повторяющиеся расчетные алгоритмы. Мандельброт тогда работал на фирме IBM и по роду службы имел дело с лучшими на то время компьютерами. На экране его монитора — вдруг, словно по мановению «невидимой руки», — появились узоры, замысловатые и странные.
В 1980 году Мандельброт обнаружил множество, которое мы называем теперь фракталом Мандельброта. Это не просто причудливая фигура. Это еще и принцип перехода от связного и упорядоченного — к разрывному и хаотическому состоянию форм. Множество Мандельброта содержит в себе универсальность Фейгенбаума, но не ограничивается ею.
С самого начала предпринятого им исследования Мандельброт искал пограничную линию между связными и разрывными множествами Жюлиа. Он анализировал комплексное итерационное уравнение Жюлиа:
Выбрав произвольное число Z0, возведем его в квадрат и прибавим константу С для того, чтобы по лучить Z1, и т. д.
Zn+1 = Zn2 + С.
Начнем с простейшего из возможных значений константы С, а именно
С = 0.
Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат исходного числа:
Z0 → Z02 → Z04 → Z08 → ...
Для этой последовательности в зависимости от ZQ имеются три возможности:
1. Числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нолю. Мы говорим, что нуль является аттрактором для процесса Z → Z2. Все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого аттрактора, движутся к нему.
2. Числа становятся все большими и большими, стремясь к бесконечности. Мы говорим, что бесконечность является аттрактором для такого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от ноля, движутся к бесконечности.
3. Точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от ноля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в ноле.
Ситуация ясна. Плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.
Дело обстоит сложнее, когда мы выберем ненулевое значение С, отличное от ноля. Например,
С = -0,12375 + 0,56508
iЗдесь для последовательности Z0 → Z1 → Z2 → ... также имеются три из перечисленных выше возможностей, но внутренний аттрактор (отмеченный точкой на рисунке) уже не является нолем, а граница уже не выглядит гладкой. Она сильно изломана. Причем под лупой граница выглядит столь же изломанной, как и без нее. Она фрактальна.
