«Скважность» есть понятие более глубокое, чем «пористость». Далее у Флоренского мы читаем:
«Скважность принадлежит к числу более глубоких характеристик физического тела, определяющих его свойства не только в количественном, но и в качественном отношении. При этом решающим здесь оказывается топологическое строение скважин, а затем соотношение между собой геометрических размеров как скважин, так и целого тела».
Эти идеи нашли свое техническое воплощение в теории перколяции, которой посвящена следующая глава.
Перколяция: поры и сети
Термин «перколяция» происходит от латинского слова percolare, которое означает «просачиваться» или «протекать». В физике и химии — это процесс протекания жидкостей через пористые материалы, электричества через смесь проводящих и непроводящих частиц и другие подобные процессы.
Перколяция — основной способ производства настоек. Перколяция проводится следующим образом. Подлежащее извлечению измельченное сырье смачивают в отдельном закрытом сосуде (перколяторе) достаточным количеством экстрагента, добавляя его до полного и равномерного смачивания сырья. Оставляют все это на 4 часа, после чего набухший материал плотно укладывают в перколятор и при открытом спускном кране добавляют такое количество экстрагента, чтобы слой его (зеркало) над поверхностью составлял 30-40 мм. Вытекающую из крана жидкость наливают обратно в перколятор, закрывают кран и оставляют на 24 часа, затем медленно перколируют, спуская за 1 час объем жидкости, соответствующий примерно 1/48 используемого объема перколятора, до получения необходимого количества настойки.
Теория перколяции описывает поведение связных структур, состоящих из отдельных элементов — кластеров. Кластер представляет собой дискретную решетку с узлами и связями. Когда все узлы заблокированы или все связи закрыты, то поток через кластер прекращается. Когда они открыты, по связям через узлы идет ток. При каком-то критическом значении «открытости» происходит «перколяционный» переход, являющийся аналогом перехода металл-изолятор. Теория перколяции важна именно в окрестности такого перехода.
Своим появлением теория перколяции обязана работе английских ученых Бродбента и Хаммерсли. В середине пятидесятых годов прошлого века Бродбент занимался разработкой противогазовых масок для шахт по заданию Британского объединения по исследованию применения угля. Столкнувшись с математической проблемой, Бродбент привлек математика Джона Хаммерсли.
Основной элемент маски — это уголь, через который должен проходить газ. В угле есть поры, причудливо соединяющиеся друг с другом, так что образуется нечто вроде запутанного лабиринта. Газ может проникать в эти поры, адсорбируясь (осаждаясь) на их поверхности. Оказалось, что если поры достаточно широки и хорошо связаны друг с другом, то газ проникает в глубь угольного фильтра. В противоположном случае газ не проникает дальше поверхности угля. Движение газа по лабиринту представляет собой процесс нового типа, существенно отличающийся от хорошо известного в физике явления диффузии. Бродбент и Хаммерсли назвали такие явления «процессами протекания» (по-английски percolation processes).
За 25 лет, прошедшие с первой работы Бродбента и Хаммерсли, выяснилось, что теория протекания необходима для понимания широчайшего круга явлений, относящихся, главным образом, к физике и химии. Вероятно, наиболее разработанной в настоящее время областью применения теории протекания являются электрические свойства неупорядоченных систем, таких как аморфные полупроводники, кристаллические полупроводники с примесями или материалы, представляющие собой смесь двух разных веществ — диэлектрика и металла.
Самым существенным в теории перколяций являются так называемые критические явления. Эти явления характеризуются «критической точкой», в которой определенные свойства системы резко меняются. К критическим явлениям относятся также фазовые переходы второго рода (например, переход металла из нормального состояния в сверхпроводящее при понижении температуры). Физика всех критических явлений состоит в том, что
вблизи критической точки система как бы распадается на блоки с отличающимися свойствами, причем размер отдельных блоков неограниченно растет при приближении к критической точке.
Очертания блоков при этом случайны. В некоторых явлениях вся конфигурация хаотически меняется со временем за счет теплового движения, в других явлениях она заморожена, но меняется при переходе от образца к образцу. Блоки расположены беспорядочно, так что, глядя на мгновенную фотографию системы, трудно увидеть какие-либо закономерности. Однако «в среднем» эта геометрия, которую можно назвать «геометрией беспорядка», обладает вполне определенными свойствами.
Физические свойства неразрывно связаны с геометрией.
Например, физические свойства кристаллов определяются геометрией кристаллических решеток. Точно так же ряд свойств системы, находящейся вблизи критической точки, определяется «геометрией беспорядка». Самое интересное то, что благодаря большим размерам блоков эта геометрия фактически не зависит от атомной структуры вещества и потому обладает универсальными свойствами, одинаковыми для многих совершенно разных систем. Отсюда следует универсальность физических свойств, проявляющаяся в окрестности критических точек. Такого рода связь между физикой и геометрией проявляет себя в теории перколяции.
Перколяция — это геометрический фазовый переход.
Основное положение теории перколяции заключается в предположении, что существует порог протекания, вблизи которого все параметры системы степенным образом зависят от близости к этому порогу.
Для иллюстрации рассмотрим «переход через болото». Перепрыгивая с кочки на кочку, иногда удается преодолеть болото. Это возможно, если кочки находятся достаточно близко друг от друга. Может случиться так, что кочки окажутся на далеком расстоянии. И это не даст возможности пересечь болото. Существует критическая плотность nс расположения кочек, при котором становится возможным преодолеть болото. Такую ситуацию называют порогом протекания. Вблизи порога протекания все параметры системы степенным образом зависят от разности Δn = n - nс. Когда n >> пc, кочки расположены достаточно плотно, и путник в конце концов преодолеет болото. Если п < пс, то кочки расположены далеко друг от друга, и путник не сможет прыгать по ним. Вблизи n ≈ nс путник может и не пройти болото. Все теперь зависит от размеров путника и от распределения расстояний между кочками на болоте. Сопряжение этих параметров описывается различными фрактальными размерностями.
1. Перколяционный кластер и его остов. Задача узлов на квадратной решетке. Узлы остова отмечены черным цветом; узлы, принадлежащие мертвым концам, — серым.
2. Перколяционный кластер, его полный и внешний периметры.
Перколяционный кластер является фрактальным образованием, в котором можно выделить фрактальные подструктуры. Рассмотрим пример «задачи узлов на квадратной решетке». Типовая решетка состоит из островов и связей (проводящая часть кластера), а также из мертвых концов. Мертвые концы составляют большую часть кластера, однако не участвуют в проводимости. Критические связи — одиночные связи, при разрушении которых перколяционный кластер перестает проводить ток. Скелет кластера — объединение всех кратчайших путей от данного узла до узлов на заданном расстоянии. Эластичный остов — объединение всех кратчайших путей между двумя данными узлами. Оболочка, или внешний периметр, состоит из тех узлов кластера, которые соприкасаются с пустыми узлами и соединены с бесконечностью посредством пустых узлов. Полный периметр включает также пустоты внутри кластера.
